如何求一个数的平方根？

求平方根的核心是找到非负数x使x²=S，常用牛顿迭代法：xₙ₊₁=0.5(xₙ+S/xₙ)，收敛快；手算可用分组试商法；负数无实平方根因实数平方非负；估算可找邻近完全平方数夹逼，如√150≈12.24。

求一个数的平方根，核心在于找到一个非负数，它与自身相乘后等于我们想要开平方的那个数。这听起来简单，但实际操作起来，根据你需要的精度和场景，方法会大相径庭。你可以用计算器直接获取，也可以通过数学算法迭代逼近，甚至还有一些手算技巧。

要精确地求一个数的平方根，尤其是当它不是一个完全平方数时，我们通常会借助迭代算法。我个人觉得，要说最优雅、最能体现数学之美的，还得是牛顿迭代法。它那种不断逼近真相的感觉，简直是数学的浪漫。

牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始猜测值开始，然后通过一个公式反复修正这个猜测，直到达到满意的精度。对于求一个数

S

的平方根，它的迭代公式是：

x_n+1 = 0.5 * (x_n + S / x_n)

这里，

x_n

是当前的猜测值，

x_n+1

是下一个更精确的猜测值。

举个例子，我们想求

S = 25

的平方根。

1. 初始猜测

   x_0

   ： 我们可以随便猜一个，比如

   x_0 = 5

   (当然，这里我们知道答案，但实际情况可能不知道)。

2. 第一次迭代：

   x_1 = 0.5 * (5 + 25 / 5) = 0.5 * (5 + 5) = 0.5 * 10 = 5

   你看，如果初始猜测就是答案，那一次迭代就搞定了。

再来一个不那么完美的例子，求

S = 2

的平方根。

1. 初始猜测

   x_0

   ： 我们可以猜

   x_0 = 1

   。

2. 第一次迭代：

   x_1 = 0.5 * (1 + 2 / 1) = 0.5 * (1 + 2) = 0.5 * 3 = 1.5
3. 第二次迭代：

   x_2 = 0.5 * (1.5 + 2 / 1.5) = 0.5 * (1.5 + 1.3333...) = 0.5 * 2.8333... = 1.4166...
4. 第三次迭代：

   x_3 = 0.5 * (1.4166... + 2 / 1.4166...) = 0.5 * (1.4166... + 1.4117...) = 0.5 * 2.8283... = 1.4142...

你看，很快就逼近了我们熟知的

√2 ≈ 1.41421356...

。

如果你想用代码实现，python 示例会是这样：

def sqrt_newton(S, tolerance=1e-7):     if S < 0:         raise ValueError("Cannot compute square root of a negative number for real numbers.")     if S == 0:         return 0      x = S  # 初始猜测，可以用S本身，或者S/2，或者1，根据S的大小选择     while True:         next_x = 0.5 * (x + S / x)         if abs(x - next_x) < tolerance: # 当两次迭代结果非常接近时，认为达到精度             return next_x         x = next_x  # 示例 # print(sqrt_newton(25)) # 输出 5.0 # print(sqrt_newton(2))  # 输出 1.4142135623746899

这个方法的妙处在于它的收敛速度非常快，每次迭代都能让结果的有效位数翻倍，所以非常高效。

手算平方根有哪些技巧？

记得小学数学课上，老师教过一个繁琐但很有效的方法，就是那个类似除法的笔算开平方。虽然现在有了计算器，但了解一下它的原理，能让人对数字的结构有更深的理解。这种方法的核心是把数字从小数点开始，向两边每两位一组进行分组，然后通过试商和减法逐步逼近。

我们以计算

√529

为例：

1. 分组： 从个位开始，向左每两位一组，

   5

   29

   。如果整数部分是奇数位，最左边那组就只有一位。

2. 第一组： 看第一组

   5

   。找到小于等于

   5

   的最大完全平方数，是

   2^2 = 4

   。

   • 商写

     2

     。

   • 5 - 4 = 1

     。

3. 下拉第二组： 将

   29

   拉下来，与余数

   1

   组成

   129

   。

4. 试商： 将当前商

   2

   乘以

   2

   得到

   4

   。现在我们要找一个数字

   x

   ，使得

   (4x) * x

   接近或小于

   129

   。

   • 如果

     x=1

     ，

     41 * 1 = 41

     。

   • 如果

     x=2

     ，

     42 * 2 = 84

     。

   • 如果

     x=3

     ，

     43 * 3 = 129

     。

   • 我们找到了

     x=3

     。

5. 完成： 将

   3

   写到商的后面，得到

   23

   。

   • 129 - 129 = 0

     。

   • 余数为

     0

     ，计算完成。

所以，

√529 = 23

。

这个方法虽然复杂，但它一步步揭示了平方根的结构，特别适合在没有电子工具时进行精确计算。对于非完全平方数，我们可以继续在小数点后分组，重复上述步骤来获得小数部分的精度。

为什么负数没有实数平方根？

这个问题初听起来很简单，但背后藏着实数域的根本限制。我们定义一个数的平方，就是它自己乘以自己。在实数范围内，任何数平方的结果都必然是非负的。

• 如果你取一个正数，比如

  2

  ，

  2 * 2 = 4

  (正数)。

• 如果你取一个负数，比如

  -2

  ，

  (-2) * (-2) = 4

  (正数)。

• 如果你取零，

  0 * 0 = 0

  (非负数)。

你看，无论你用哪个实数，它的平方都不会是负数。所以，当我们试图问“哪个实数乘以自己会得到

-4

？”时，答案就是“没有这样的实数”。这就是为什么负数在实数域内没有平方根。

当然，数学家们为了解决这个问题，引入了虚数的概念。他们定义了一个新的数

i

，使得

i^2 = -1

。这样一来，负数就有了平方根，比如

√-4 = 2i

。我记得刚接触虚数的时候，那种“突破”的感觉特别奇妙，好像打开了数学的另一扇窗，让原本无解的问题变得有了解答，也拓展了我们对数字世界的理解。但这已经超出了实数平方根的范畴了。

如何高效地估算一个数的平方根？

在没有计算器，或者需要快速判断一个数的大致范围时，估算能力就显得特别重要。我经常会用“夹逼”的方法，就是找它最近的两个完全平方数，这样心里就有个谱了。

最直接的估算方法就是寻找最近的完全平方数。

例如，我们想估算

√150

：

1. 我们知道

   10^2 = 100

   和

   11^2 = 121

   。

2. 12^2 = 144

   。

3. 13^2 = 169

   。

现在我们发现

150

介于

144

和

169

之间。这意味着

√150

介于

√144

(即

12

) 和

√169

(即

13

) 之间。

因为

150

更接近

144

(相差

6

)，而不是

169

(相差

19

)，所以我们可以推断

√150

会更接近

12

。

进一步，如果你想更精确一点，可以在

12

和

13

之间做一个简单的线性插值：

√150 ≈ 12 + (150 - 144) / (169 - 144)

√150 ≈ 12 + 6 / 25

√150 ≈ 12 + 0.24 = 12.24

实际计算器给出的

√150 ≈ 12.247

，我们的估算已经非常接近了。这种方法在日常生活中，比如粗略计算面积、距离或者需要快速判断数量级时，都非常实用。它不需要复杂的计算，只需要对一些常见完全平方数有基本的记忆即可。